Matriks Relasi Dan Fungsi

Matriks

·       Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom.

·       Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m ´ n) adalah:

·       Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran n ´ n.

 ·       Dalam praktek, kita lazim menuliskan matriks dengan notasi ringkas A = [a_ij].

 

 

Contoh 1. Di bawah ini adalah matriks yang berukuran 3 ´ 4:

                                                                                                                                         

 

 

·       Matriks simetri adalah matriks yang a_ij = a_ji untuk setiap i dan j.

 

 

Contoh 2. Di bawah ini adalah contoh matriks simetri.

               

               

·       Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1.

 

    Contoh 3. Di bawah ini adalah contoh matriks 0/1:

               

      

 

 

 

 

 

Relasi

 

 

 

·       Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A ´ B.

·       Notasi: R Í (A ´ B).  

 

·       a R b adalah notasi untuk (a, b) Î R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R

·       a R b adalah notasi untuk (a, b) Ï R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.

·       Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Contoh 3. Misalkan

A = {Amir, Budi, Cecep},  B = {IF221, IF251, IF342, IF323}

A ´ B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342),

(Amir, IF323),  (Budi, IF221), (Budi, IF251),

(Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221),

(Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }

 

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu

 

R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221),

        (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }

 

- Dapat dilihat bahwa R Í (A ´ B),

- A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R.

- (Amir, IF251) Î R  atau Amir R IF251

- (Amir, IF342) Ï R atau Amir R  IF342.                                         

 

 

                                                                      

Contoh 4. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan

 

          (p, q) Î R  jika p habis membagi q

 

maka kita peroleh

 

          R  = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }                                             

 

·       Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus

·       Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A ´ A.

·       Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A ´

 

Contoh 5. Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y) Î R  jika x adalah faktor prima dari y. Maka

 

          R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}                                                              

Representasi Relasi

1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah

2. Representasi Relasi dengan Tabel

·       Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

 

 

       Tabel 1                           Tabel 2              Tabel 3

A	B		P	Q		A	A
Amir	IF251		2	2		2	2
Amir	IF323		2	4		2	4
Budi	IF221		4	4		2	8
Budi	IF251		2	8		3	3
Cecep	IF323		4	8		3	3
			3	9
			3	15

3. Representasi Relasi dengan Matriks

·       Misalkan R adalah relasi dari A = {a₁, a₂, …, a_m} dan B = {b₁, b₂, …, b_n}.

·       Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [m_ij],

           b₁       b₂      ¼     b_n

          M =

Contoh 6. Relasi R pada Contoh 3 dapat dinyatakan dengan matriks

 

dalam hal ini, a₁ = Amir, a₂ = Budi, a₃ = Cecep, dan b₁ = IF221,

b₂ = IF251, b₃ = IF342, dan b₄ = IF323.

 

Relasi R pada Contoh 4 dapat dinyatakan dengan matriks

 

yang dalam hal ini, a₁ = 2, a₂ = 3, a₃ = 4, dan b₁ = 2, b₂ = 4, b₃ = 8, b₄ = 9, b₅ = 15.

4.  Representasi Relasi dengan Graf Berarah

·       Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)

·       Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.

·       Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)

·       Jika (a, b) Î R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). 

 

·       Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

 

 

Contoh 7. Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.

 

R direpresentasikan dengan graf berarah sbb:

 

Sifat-sifat Relasi Biner

·       Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat.

1. Refleksif (reflexive)

·       Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) Î R untuk setiap a Î A.

·       Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a Î A sedemikian  sehingga (a, a) Ï R.

Contoh 8. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

(a)  Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3),

(4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).

(b)       Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak  bersifat refleksif karena (3, 3) Ï R.      

Contoh 9. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a)ÎR untuk setiap a Î A.                

Contoh 10. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

          R : x lebih besar dari y,          S : x + y = 5,        T : 3x + y = 10

Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.

¾

·       Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau m_ii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

·       Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

2.   Menghantar (transitive)

·       Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) Î R dan (b, c) Î R, maka (a, c) Î R, untuk a, b, c Î A.

Contoh 11. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

(a)   R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut:

 

 Pasangan berbentuk

                             (a, b)    (b, c)       (a, c)

         

                             (3, 2)    (2, 1)       (3, 1)

          (4, 2)    (2, 1)       (4, 1)

                             (4, 3)    (3, 1)       (4, 1)

                             (4, 3)    (3, 2)       (4, 2)

 

(b)    R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena

(c)     (2, 4) dan (4, 2) Î R, tetapi (2, 2) Ï R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) Î R, tetapi (4, 3) Ï R.    

(d)    Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar

(e) Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada

      (a, b) Î R dan (b, c) Î R sedemikian sehingga (a, c) Î R.

(f)      Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.                                                                                  

Contoh 12. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb. Di sini  c = nma, sehingga a habis membagi c.  Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.                                                                                           

Contoh 13. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

          R : x lebih besar dari y,          S : x + y = 6,        T : 3x + y = 10

-  R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z.

- S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4) Ï S.

- T = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)} menghantar.                       

·       Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

·       Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur  dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.

3.    Setangkup (symmetric) dan tak-setangkup (antisymmetric)

·       Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika untuk semua a, b Î A, jika (a, b) Î R, maka (b, a) Î R.

·       Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) Î R sedemikian  sehingga (b, a) Ï R.

·       Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika untuk semua a, b Î A, (a, b) Î R  dan (b, a) Î R  hanya jika a = b.

·       Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) Î R dan (b, a) Î R.

·       Perhatikanlah bahwa istilah setangkup dan tolak-setangkup tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a ¹ b.

Contoh 14. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

(a) Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat setangkup karena jika (a, b) Î R  maka (b, a) juga Î R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) Î R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) Î R.

(b) Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup karena (2, 3) Î R, tetapi (3, 2) Ï R.

(c)  Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1 = 1 dan (1, 1) Î R, 2 = 2 dan (2, 2) Î R, dan 3 = 3 dan (3, 3) Î R. Perhatikan bahwa R juga setangkup.

(d) Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup karena (1, 1) Î R dan 1 = 1 dan, (2, 2) Î R dan 2 = 2 dan. Perhatikan bahwa R tidak setangkup.